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1880年，庞加莱（Poincaré）发表了关于自守函数的重要结果。
1883年，庞加莱发表了一篇论文，开启了多复变解析函数理论的研究。
1892年，庞加莱出版了三卷本《天体力学的新方法》（Les Méthodes nouvelles de la mécanique céleste）的第一卷。他旨在完全刻画机械系统的所有运动，援引流体流动的类比。他还证明，以前例如德劳内（Delaunay）用于研究三体问题的级数展开是收敛的，但一般不是一致收敛。这使人怀疑拉格朗日和拉普拉斯给出的关于太阳系稳定性的证明。
1894年，庞加莱开始了代数拓扑的工作。
1895年，庞加莱出版了《位置分析》（Analysis situs），这是他的第一本拓扑学著作，给出了这个专题的较早的系统性处理。他是代数拓扑的创始人，发表了这个专题的6篇论文。他引入了基本群。
1904年，庞加莱提出庞加莱猜想：每个同伦等价于3维球面的3维闭流形必定是3维球面。
1904年，庞加莱在一个讲座中提出一种相对性理论来解释迈克尔逊-莫雷实验。
1908年，庞加莱出版了《科学与方法》（Science et méthode），这也许是他最著名的大众读物。
“大家要考虑这个问题，这个猜想所延伸的问题。”
教课是查尔斯·厄米特，他一边在黑白上写着复杂而古怪的符号，一边在画各种表示抽象思想的图。此时，他想把世界性的难题就这样任性的抛给自己的学生。
突然看到一个学生回答道：“使用怎样的简单几何，和构造方法，做成一个特定序列，然后构造出我们想要的复杂的几何体？我觉得不是什么难事呀！”
查尔斯·厄米特看了看亨利·庞加莱，听到这句话就想笑。虽然他是要把这种难题要扔给学生们去解决的，但是如此不走心的回答，还是让查尔斯·厄米特有些反感。
“别着急去这样说，你给我说说，有什么办法？”
亨利·庞加莱想了想说：“一个复杂的曲面形状，是可以由无数个等边三角形构造出来的。”
查尔斯·厄米特噗嗤的笑了一声：“你是刚学的吧，不对，你看到一个复杂的曲面，一下子就能知道如何用无数个等边三角形来构造？你幼稚了！首先这无数个等边三角形都是大小相等的吗？如果不相等，那应该如何去选取大小？”
“先用最大的覆盖一下，看看，在小的地方再用次等大的用最大的覆盖，每一个空隙使用尽可能最大的三角形去覆盖，盖到最小的为止。”亨利·庞加莱说着话，带有要豁出去的意思了。
“哈哈，什么叫盖到最小？有多小？是不是在误差范围之内的不用管就可以了？”查尔斯·厄米特随着亨利·庞加莱的意思，也在试图推导，而不急于去反驳他的观点。对于查尔斯·厄米特来说，解决问题，有的时候比提出问题更值得去珍惜，老师的批判应该有水平，而不去做一个情绪化的大杠精。
“没做，做某一个项目的时候，这种误差小的，根本不影响工程，而且这样去做出无数的三角形的办法，完全说可取的。”亨利·庞加莱认为自己想的很完美，只要是认真思考过的问题，就没有解决不了的办法。
“我发现两个问题，第一就是去根据形状去计算覆盖三角形的最大形状，这也不是一下子就能够算出来的。第二就是随着空隙的增加，去用三角形填空的过程也会变得极为繁琐复杂。”查尔斯·厄米特想要反驳的方式去测测亨利·庞加莱的能力，最重要的是要测一测亨利·庞加莱的耐力。
“如果不能够快速给出形状，就用随机的办法来化最大三角形，就没必要遍历的去比较哪个三角形面积是最大的了。而填空这种过程，就使用软件的算法，能不能用分布式的解决来计算了。”亨利·庞加莱认为这种办法也是可取的，没必要非得去找最大三角形，只要随机快速的找到足够大就可以，这样的计算过程就会加快，而且这样的下面的计算过程也会因此而加快。
查尔斯·厄米特心里在想，那这种构造的序列就是，先知道这个曲面，然后随机画上三角形填满，并记录三角形信息，之后随机的没填一个三角形，就记录一个三角形的信息，知道剩下的空隙在误差范围内就可以。
“即使用了这个办法，寻找空隙的算法，还是会很麻烦的。因为你不知道这里是不是覆盖过的。”查尔斯·厄米特还是疑惑的说。
“那就把每一个覆盖进行记录，然后遇到空隙后，计算空隙的中心坐标，中心坐标在覆盖好的三角形之外，就足够了。”亨利·庞加莱继续说：“你在序列里直接加上这个程序就可以了。”
“你说的随机给形状，还有判定空隙没有被三角形覆盖等等，这就是查尔斯·厄米特猜想里的模糊问题了。空隙没有被三角形覆盖，你的算法可能是错误的，万一有空隙很小，但质心在覆盖三角形中心处的凹形结构。即使你有其他算法了，但是也是很复杂的了。”查尔斯·厄米特就用这样的方式告诉大家，查尔斯·厄米特猜想的困难性。
亨利·庞加莱瞬间来了兴趣，他认为自己应该用基本的几何体去勾结一个复杂的三维形状。
亨利·庞加莱的脑子里开始用正四面体结构来堆放处一个形状的东西，并且试图让这个东西进行一个变换。
0维单形是一个点，一维单形是一条线段，二维单形是一个三角形，三维单形是一个四面体，n维单形是一个具有n+1个顶点的广义四面体。
